Ряды и теория функций комплексного переменного

Ряды и теория функций комплексного переменного
О.Д. Алгазин, Т.В. Облакова
  • Год:
    2016
  • Тип издания:
    Конспект лекций
  • Объем:
    148 стр. / 9.25 п.л
  • Формат:
    60x90/16
  • ISBN:
    978-5-7038-4418-2
  • Читать Online

Ключевые слова: аналитические функции, аналитичность функции, гармонические функции, интегральные формулы, комплексные переменные, конформные отображения, коэффициенты Эйлера-Фурье, лемма Жордана, неравенство Бесселя, особые точки, признак Вейерштрасса, признак Коши, признак Лейбница, признаки Даламбера, равенство Парсеваля, ряды Дирихле, ряды Маклорена, ряды Тейлора, ряды Фурье, степенные ряды, сфера Римана, сходимость, теорема Абеля, теорема Дирихле, теорема Коши, теорема Римана, тригонометрические ряды, условия Коши-Римана, функции комплексного переменного, функциональные ряды, числовые ряды, явление Гиббса

Издание содержит полный конспект лекций по курсу "Гармонический анализ и теория функций комплексного переменного". Курс состоит из двух модулей. Теоретический материал к теме "Ряды" составляет содержание лекций 1-9, в лекциях 10-17 изложены основы теории функций комплексного переменного. Конспект содержит все необходимые определения и доказательства теорем, примеры и геометрические иллюстрации.

Для студентов-бакалавров, обучающихся по всем машиностроительным направлениям. Издание может быть полезно студентам других направлений и специальностей, изучающих курсы "Ряды" и "Теория функций комплексного переменного", а также аспирантам, магистрам и преподавателям.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Лекция 1. Числовые ряды (сходящиеся и расходящиеся). Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства сходящихся рядов. Сходимость положительных рядов
Лекция 2. Признаки Даламбера и Коши. Ряды Дирихле
Лекция 3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка суммы и остатка ряда. Структура рядов, сходящихся абсолютно и условно; их свойства
Лекция 4. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля
Лекция 5. Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов (равномерная сходимость, непрерывность суммы, почленное интегрирование и дифференцирование)
Лекция 6. Разложение функции в степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена. Теоремы о разложении функций в ряд Тейлора. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена
Лекция 7. Ортогональность системы тригонометрических функций на отрезке [-pi, pi]. Тригонометрические ряды Фурье и коэффициенты Эйлера - Фурье. Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Неполные ряды Фурье
Лекция 8. Примеры разложения функций в ряд Фурье. Явление Гиббса. Разложение функций в ряд Фурье на отрезке [-l, l]. Комплексная форма ряда Фурье
Лекция 9. Разложение функций по произвольной полной ортогональной системе. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Полнота тригонометрической системы. Примеры ортогональных систем
Лекция 10. Комплексное переменное, комплексная плоскость. Задание стандартных кривых и областей в комплексной плоскости. Функция комплексного переменного, ее геометрический смысл. Однозначные и многозначные функции. Линейная и степенная функции
Лекция 11. Сфера Римана. Расширенная комплексная плоскость. Последовательности и ряды комплексных чисел. Определение основных элементарных функций комплексного переменного. Формулы связи. Теоремы сложения. Логарифмическая функция комплексного переменного, ее свойства
Лекция 12. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в области, в точке. Условия Коши - Римана. Гармонические функции, их связь с аналитическими. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
Лекция 13. Конформные отображения. Основные свойства. Теорема Римана. Принцип соответствия границ. Конформные отображения, осуществляемые основными элементарными функциями
Лекция 14. Интеграл от непрерывной функции комплексного переменного, его вычисление и свойства. Интеграл от аналитической функции комплексного переменного, его свойства. Теорема Коши
Лекция 15. Интегральная формула Коши для функции, аналитической в одно- и многосвязной областях. Интегральная формула производной n-го порядка. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции
Лекция 16. Теорема о разложении аналитической функции в круге в ряд Тейлора. Теорема о разложении аналитической функции в кольце в ряд Лорана
Лекция 17. Изолированные особые точки однозначных аналитических функций, их классификация. Поведение функции в проколотой-окрестности особой точки. Связь нулей функции f(z) и полюсов функции 1/f(z). Бесконечно удаленная особая точка. Вычет функции в изолированной особой точке, вычисление вычетов. Основные теоремы о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов. Лемма Жордана

Авторы работы: Алгазин О.Д., Облакова Татьяна Васильевна