Дифференциальные уравнения (5-е издание)

Дифференциальные уравнения (5-е издание)
С.А. Агафонов, А.Д. Герман, Т.В. Муратова
  • Год:
    2011
  • Тип издания:
    Учебник
  • Объем:
    352 стр. / 22 п.л
  • Формат:
    60x90/16
  • ISBN:
    978-5-7038-3537-1
  • Читать Online

Серия: Математика в техническом университете

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, задача Коши, изоклины, краевые задачи, метод Рунге-Кутты, метод Чаплыгина, метод ломаных Эйлера, определитель Вронского, особые решения, особые точки, первые интегралы, степенные ряды, теорема Кнезера, теорема Коши, теорема Ляпунова, теорема Четаева, теория устойчивости, фазовая плоскость, фазовый портрет, формула Остроградского-Лиувилля, функции Ляпунова

Изложены основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и даны основные понятия об уравнениях с частными производными первого порядка. Авторы стремились объединить строгость изложения теории дифференциальных уравнений с прикладной направленностью ее методов. В связи с этим приведены многочисленные примеры из механики и физики. Отдельная глава посвящена линейным ОДУ второго порядка, к которым приводят многие прикладные задачи. Главу, посвященную изложению численных методов, следует рассматривать как вводную.

Содержание учебника соответствует курсу лекций, которые авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Для студентов технических университетов и вузов. Может быть полезен интересующимся прикладными задачами теории дифференциальных уравнений.

ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях

1.1. Основные понятия и определения
1.2. Геометрическая интерпретация решения ОДУ. Поле направлений
1.3. Задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений
2. Теорема существования решения дифференциального уравнения первого порядка
2.1. Постановка задачи Коши. Интегральное неравенство
2.2. Теорема существования и единственности решения (теорема Коши)
2.3. Оценка разности решений двух уравнений. Непрерывная зависимость решения от начальных условий и параметра
2.4. Изоклины и их использование для приближенного построения интегральных кривых
3. Дифференциальные уравнения первого порядка
3.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
3.2. Однородные и квазиоднородные уравнения
3.3. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
3.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и Риккати
3.5. Особые точки и особые решения ОДУ первого порядка
3.6. Уравнения, не разрешенные относительно производной
Д.3.1. Особенности составления дифференциальных уравнений в прикладных задачах
Д.3.2. Ортогональные и изогональные траектории
4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
4.1. Задача и теорема Коши
4.2. Частное и общее решения системы дифференциальных уравнений
4.3. Оценка разности двух решений
4.4. Теорема Коши о существовании и единственности решения уравнения высшего порядка. Случаи понижения порядка
5. Системы линейных дифференциальных уравнений
5.1. Определения и основные свойства решений
5.2. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Формула Остроградского - Лиувилля
5.3. Теоремы о структуре общего решения однородной и неоднородной систем
5.4. Метод вариации постоянных
5.5. Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение системы
5.6. Нахождение фундаментальной системы решений в случае различных корней характеристического уравнения
5.7. Структура фундаментальной системы решений в случае кратных корней
6. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
6.1. Сведение к линейной системе. Определитель Вронского и структура общего решения однородного уравнения
6.2. Общее решение неоднородного уравнения. Метод Лагранжа вариации постоянных
6.3. Понижение порядка линейного дифференциального уравнения
6.4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Случай различных корней характеристического уравнения
6.5. Формула сдвига. Случай кратных корней характеристического уравнения. Уравнения Эйлера, Лагранжа, Чебышева
6.6. Структура частного решения уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
7. Нули решений дифференциального уравнения второго порядка
7.1. Приведение уравнения к двучленному виду
7.2. Нули решений. Теорема о конечности числа нулей на отрезке
7.3. Теорема о чередовании нулей. Теоремы сравнения и Кнезера
Д.7.1. О нулях решений нелинейных дифференциальных уравнений
8. Первые интегралы
8.1. Основные понятия и определения
8.2. Теорема о локальном существовании системы первых интегралов
8.3. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений при помощи первых интегралов
8.4. Симметричная форма записи нормальной автономной системы дифференциальных уравнений
9. Элементы теории устойчивости
9.1. Основные определения и понятия
9.2. Устойчивость системы линейных дифференциальных уравнений
9.3. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению
9.4. Функции Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости
9.5. Теоремы Четаева и Ляпунова о неустойчивости
Д.9.1. Библиографический комментарий
10. Особые точки на фазовой плоскости
10.1. Фазовый портрет системы
10.2. Система нелинейных дифференциальных уравнений
Д.10.1. Математическая модель сосуществования двух популяций
11. Краевые задачи для дифференциального уравнения
11.1. Постановка краевой задачи
11.2. Линейная краевая задача. Сведение ее к задаче Коши
11.3. Прикладные примеры решения краевой задачи
12. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений
12.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов
12.2. Метод последовательных приближений
12.3. Метод ломаных Эйлера
12.4. Метод Рунге - Кутты
12.5. Метод Чаплыгина
13. Дифференциальные уравнения первого порядка с частными производными
13.1. Линейное дифференциальное уравнение. Уравнения характеристик. Задача Коши
13.2. Квазилинейное дифференциальное уравнение

Авторы работы: Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В.