Элементы конечной алгебры: группы, кольца, поля, линейные пространства

Элементы конечной алгебры: группы, кольца, поля, линейные пространства
А.В. Чашкин, Д.А. Жуков
  • Год:
    2016
  • Тип издания:
    Учебное пособие
  • Объем:
    368 стр. / 23 п.л
  • Формат:
    60x90/16
  • ISBN:
    978-5-7038-4354-3
  • Читать Online

Ключевые слова: алгоритм Берлекемпа, группы, кольца, конечные группы, конечные поля, линейные операторы, линейные пространства, матрицы, метод Полига-Хеллмана-Нечаева, множества, определители, отображения, системы линейных уравнений, теорема Чебышёва, теоремы Силова

Учебное пособие основано на материалах лекций и семинаров, проводимых в МГТУ им. Н. Э. Баумана для студентов, специализирующихся в области защиты информации. В пособии рассмотрены основные алгебраические структуры и их свойства. Все утверждения снабжены подробными доказательствами и проиллюстрированы большим числом примеров. Основное внимание уделено конечным полям и линейным пространствам над конечными полями. Для чтения пособия достаточно уверенного владения математикой в объеме средней школы.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Множества и отображения
1.1. Множества
1.2. Отношения на множествах
1.3. Отображения
1.4. Конечные множества и их мощности
Глава 2. Целые числа
2.1. Делимость. Алгоритм Евклида
2.2. Разложение на простые множители
2.3. Теорема Чебышёва
2.4. Сравнения
2.5. Классы вычетов
2.6. Решение сравнений
2.7. Китайская теорема об остатках
2.8. Функция Эйлера
Глава 3. Группы
3.1. Определения и примеры
3.2. Группа подстановок
3.3. Смежные классы и фактор-группы
3.4. Изоморфизмы групп
3.5. Гомоморфизмы групп
Глава 4. Кольца
4.1. Кольца и поля
4.2. Морфизмы колец
4.3. Фактор-кольца
4.4. Кольцо многочленов
4.5. Арифметика многочленов
4.6. Число неприводимых многочленов
4.7. Кольцо остатков и поле многочленов
4.8. Китайская теорема об остатках для многочленов
Глава 5. Линейные пространства
5.1. Линейные пространства и их свойства
5.2. Линейные операторы
5.3. Матрицы
5.4. Определители
5.5. Свойства определителей
Глава 6. Пространства с операторами
6.1. Системы линейных уравнений
6.2. Обращение невырожденных матриц
6.3. Решение линейных матричных уравнений
6.4. Инвариантные подпространства
Глава 7. Структура конечных групп
7.1. Действие группы на множестве
7.2. Теоремы Силова
7.3. Прямые произведения групп
7.4. Конечные абелевы группы
7.5. Группа Zn
Глава 8. Конечные поля
8.1. Мультипликативная группа поля
8.2. Разложение xpn - x на множители
8.3. Структура конечного поля
8.4. Арифметика в конечных полях
8.5. Порядки многочленов
Глава 9. Алгоритмы
9.1. Свободные от квадратов многочлены
9.2. Алгоритм Берлекемпа. Общий случай
9.3. Логарифмирование. Метод согласования
9.4. Метод Полига - Хеллмана - Нечаева
9.5. Коды, исправляющие ошибки
Приложение A. Примитивные элементы поля Zp
Приложение B. Разложение на простые множители чисел вида pn - 1
Приложение C. Неприводимые и примитивные многочлены

Авторы работы: Чашкин А.В., Жуков Д.А.